---

Hvad er formlen for potentiel energi i et tyngdefelt, hvor til-
trækningskraften varierer med afstanden ?

Tillægsspørgsmål: Hvilke ting udover moment og potentiel energi
er bevaret i Newtonsk mekanik ?

-Claus

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>

> Hvad er formlen for potentiel energi i et tyngdefelt, hvor til-
> trækningskraften varierer med afstanden ?

Minus integral fra x til uendelig af tiltrækningskraft * d-afstand.

> Tillægsspørgsmål: Hvilke ting udover moment og potentiel energi
> er bevaret i Newtonsk mekanik ?

Potentiel energi er ikke bevaret. Samlet energi er. "Momentum" hedder
"impuls" på dansk og er bevaret. Impulsmoment ("angular momentum" på
udenlandsk) om en vilkårlig akse er også bevaret.

--
Henning Makholm "The practical reason for continuing our
system is the same as the practical reason
for continuing anything: It works satisfactorily."

---

Henning Makholm wrote:

> Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
>
>> Hvad er formlen for potentiel energi i et tyngdefelt, hvor til-
>> trækningskraften varierer med afstanden ?
>
> Minus integral fra x til uendelig af tiltrækningskraft * d-afstand.

Det var "formlen" jeg efterspurgte. Jeg /har/ været ved at integrere
osv. men jeg er ved at kløjs i det, så derfor spurgte jeg her.

Jeg nåede frem til at den potentielle energi (E) for et legeme (m1) vs.
et andet legeme (m2), der var adskilt af afstanden (r) kunne beregnes
som

E(r) = G * m1 * m2^2 * ln(r)

men jeg er noget skeptisk over for, om det er rigtigt.


>> Tillægsspørgsmål: Hvilke ting udover moment og potentiel energi
>> er bevaret i Newtonsk mekanik ?
>
> Potentiel energi er ikke bevaret. Samlet energi er. "Momentum" hedder
> "impuls" på dansk og er bevaret. Impulsmoment ("angular momentum" på
> udenlandsk) om en vilkårlig akse er også bevaret.

Dvs. for hele systemet er

E = Epot + Eimpuls + Eimpulsmoment = konstant ?

Hvordan beregner man impulsmoment ?

-Claus

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
> Henning Makholm wrote:
> > Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>

> >> Hvad er formlen for potentiel energi i et tyngdefelt, hvor til-
> >> trækningskraften varierer med afstanden ?

> > Minus integral fra x til uendelig af tiltrækningskraft * d-afstand.

> Det var "formlen" jeg efterspurgte.

Ovenstående er da også en formel?

> Jeg nåede frem til at den potentielle energi (E) for et legeme (m1) vs.
> et andet legeme (m2), der var adskilt af afstanden (r) kunne beregnes
> som

> E(r) = G * m1 * m2^2 * ln(r)

Hvis du får ln(r) må det være fordi du forsøger at integrere en kraft
der varierer inverst med afstanden i stedet for en der varierer
inverst med *kvadratet* på afstanden. Og hvor kommer kvadratet på
m2 fra?

> Dvs. for hele systemet er

> E = Epot + Eimpuls + Eimpulsmoment = konstant ?

Der er ikke nogen speciel energi der svarer til impulsmoment. Og det
duer heller ikke rigtig at kalde den kinetiske energi for "E_impuls";
den har ikke nogen relation til systemets samlede impuls.

> Hvordan beregner man impulsmoment ?

Hvis du har en punktmasse i stedet Pm med hastighed Vm og en akse
gennem Pa med retning R (som er en ubenævnt vektor af længde 1)
er punktmassens impulsmonent om aksen

Vm · ( (Pm-Pa)×R )

(eller også er det det negative; kan aldrig huske hvilken vej det er
aksen peger). For at finde hele systemets impulsmoment, tager du
summen af alle enkeltmassernes impulsmoment.

--
Henning Makholm "Make it loud, make it complicated, make it long,
and make it up if you have to, but it'll work all right."

---

Henning Makholm wrote:

> Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
>
>>> Minus integral fra x til uendelig af tiltrækningskraft * d-afstand.
>
>> Det var "formlen" jeg efterspurgte.
>
> Ovenstående er da også en formel?

Ja, men jeg mente "formel" som i "hæld nogle tal ind og få resultatet ud".

Jeg havde også prøvet den formel du giver, men jeg laver en fejl et eller
andet sted:

g(r) = G*m1*m2/r^2
-Int(g(x), r..oo) = -G*m1*m2/r

Jeg kan ikke forstå, at potentialet bliver negativt ?

[...]

> Hvis du får ln(r) må det være fordi du forsøger at integrere en kraft
> der varierer inverst med afstanden i stedet for en der varierer
> inverst med *kvadratet* på afstanden. Og hvor kommer kvadratet på
> m2 fra?

Det vil du slet ikke høre om


> Der er ikke nogen speciel energi der svarer til impulsmoment. Og det
> duer heller ikke rigtig at kalde den kinetiske energi for "E_impuls";
> den har ikke nogen relation til systemets samlede impuls.

Altså:
E = Epot + Ekin = konstant, og
Implusmoment = konstant

Right ?

[...]

> Vm · ( (Pm-Pa)×R )

Kigger på det. Tak for hjælpen.

-Claus

---

Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
> Henning Makholm wrote:

> Jeg havde også prøvet den formel du giver, men jeg laver en fejl et eller
> andet sted:

> g(r) = G*m1*m2/r^2
> -Int(g(x), r..oo) = -G*m1*m2/r

> Jeg kan ikke forstå, at potentialet bliver negativt ?

Det ser rigtigt nok ud. At potentialet bliver negativt skal man bare
tage i stiv arm; rent fysisk er det jo kun indbyrdes _forskelle_ i
potentiale der har betydning. Hvis det generer dig meget kan du lægge
en passende integrationskonstant til så potentialet bliver positivt
så længe de to legemer er længere fra hinanden end deres egen diameter.

> > Der er ikke nogen speciel energi der svarer til impulsmoment. Og det
> > duer heller ikke rigtig at kalde den kinetiske energi for "E_impuls";
> > den har ikke nogen relation til systemets samlede impuls.

> Altså:
> E = Epot + Ekin = konstant, og
> Implusmoment = konstant

Jep. Men bemærk at der er mange forskellige impulsmomenter; hver gang
du vælger en akse får du et nyt et.

> > Vm · ( (Pm-Pa)×R )

> Kigger på det. Tak for hjælpen.

Bemærk at Sven havde en anden formel for impulsmoment. Den kan jeg
ikke lige gennemskue, men Sven plejer at have tjek på sådan noget, så
muligvis er det mig der husker forkert.

--
Henning Makholm "Jeg skrællet har kartofler; min ene tommeltot
røg vistnok med i gryden. Jeg har det ellers got."

---

Henning Makholm wrote:
>
> Scripsit Claus Rasmussen <clr@cc-consult.dk>
> > Henning Makholm wrote:
>
> > Jeg havde også prøvet den formel du giver, men jeg laver en fejl et eller
> > andet sted:
>
> > g(r) = G*m1*m2/r^2
> > -Int(g(x), r..oo) = -G*m1*m2/r
>
> > Jeg kan ikke forstå, at potentialet bliver negativt ?
>
> Det ser rigtigt nok ud. At potentialet bliver negativt skal man bare
> tage i stiv arm; rent fysisk er det jo kun indbyrdes _forskelle_ i
> potentiale der har betydning. Hvis det generer dig meget kan du lægge
> en passende integrationskonstant til så potentialet bliver positivt
> så længe de to legemer er længere fra hinanden end deres egen diameter.

Ja, men det er ellers smart at bruge netop den integrationskonstant
som Claus foreslår, så

Epot = -G*m1*m2/r

Årsagen er at hvis man kigger på den samlede energi for legeme 2

E = Epot + Ekin = -G*m1*m2/r + (1/2)*m2*v2^2

så er m2 (som jeg tænker på som lille) gravitationelt bundet til
legeme 1 (som jeg opfatter som en "stor" planet) netop hvis E<0.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

In article <a3ms2h$nro$1@sunsite.dk>, clr@cc-consult.dk says...

> Jeg nåede frem til at den potentielle energi (E) for et legeme (m1) vs.
> et andet legeme (m2), der var adskilt af afstanden (r) kunne beregnes
> som
>
> E(r) = G * m1 * m2^2 * ln(r)
>
> men jeg er noget skeptisk over for, om det er rigtigt.

Godt at du er skeptisk. Tyngdekraften over et (kuglesymmetrisk) legeme er
F(r) = - G m M / r^2. Det giver den potentielle energi V(r) = - G m M / r

> Dvs. for hele systemet er
> E = Epot + Eimpuls + Eimpulsmoment = konstant ?

Nej. Der er to ligninger:

Epot + Ekin = E (konstant)

m (r x v) = L (konstant) (

Den sidste er lidt tricky, da r, v og L er vektorer. Det kan dog også
udtrykkes geometrisk: Det areal som stedvektoren overstryger pr.
tidsenhed er konstant. Dette er Keplers 2. lov for planeternes bevægelse.

> Hvordan beregner man impulsmoment ?

Se evt. på
<http://scienceworld.wolfram.com/physics/ConservationofAngularMomentum.ht
ml>

I tyngdefelter er der faktisk en tredie bevaret størrelse, nemlig Runge-
Lenz vektoren.

http://scienceworld.wolfram.com/physics/Laplace-Runge-LenzVector.html

Med venlig hilsen Sven.
--
Kissmeyer Basic er et system. Det er et godt system.

---

Sven Nielsen wrote:

> Det giver den potentielle energi V(r) = - G m M / r

Det var også mit første resultat, men jeg kunne ikke forlige mig med, at
det var negativt.


>> Hvordan beregner man impulsmoment ?
>
> Se evt. på
> <http://scienceworld.wolfram.com/physics/ConservationofAngularMomentum.ht
> ml>

Shit. Den side skulle jeg have set i foregårs: To minutters browsen og så
fandt jeg det, jeg har ledt efter siden i foregårs:

The total energy of an orbiting body is the sum of the kinetic
energy and the gravitational potential energy:

E=K+U=1/2mv² - (GMm/r)=const

Det forklarer minustegnet. Fed side !


> I tyngdefelter er der faktisk en tredie bevaret størrelse, nemlig Runge-
> Lenz vektoren.

Jeg tror, jeg nøjes

-Claus

---

Claus Rasmussen wrote:
>
>
> The total energy of an orbiting body is the sum of the kinetic
> energy and the gravitational potential energy:
>
> E=K+U=1/2mv² - (GMm/r)=const
>
> Det forklarer minustegnet. Fed side !

Øh, som jeg prøvede at sige lige før et andet sted i tråden, så vil
E<0 hviss m er i kredsløb om M, mens E=0 eller E>0 hviss m ikke er i
kredsløb om M. I det sidste tilfælde vil m med tiden komme vilkårligt
langt væk.

--
Jeppe Stig Nielsen <URL:http://jeppesn.dk/>. «

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)

---

Jeppe Stig Nielsen wrote:

> Øh, som jeg prøvede at sige lige før et andet sted i tråden, så vil
> E<0 hviss m er i kredsløb om M, mens E=0 eller E>0 hviss m ikke er i
> kredsløb om M. I det sidste tilfælde vil m med tiden komme vilkårligt
> langt væk.

Nogen gange sniger forståelsen af ting sig ind på en.

Man står f.eks med hovedet nede i køledisken i Føtex, når det pludseligt
går op for een, at formlen for den potentielle energi ikke udtrykket
energigevinsten ved at være højt hævet i tyngdefeltet, men i stedet
det _tab_ af potentiel energi, der er sket ved oprindeligt at bevæge
ned i tyngefeltet fra et hypotetisk nul-potentiale

-Claus