|
|
 | Konvergent i L^2 men ikke punktvis
Fra : Henrik Christian Gro~ |
Dato : 17-01-02 14:50 |
|
Der gælder følgende sætning:
Hvis man har en følge af funktioner f_k der i L^2 konvergerer mod en
funktion f, så findes der en delfølge f_{k_j} af funktioner der
konvergerer punktvis mod f.
Er der nogen der kan give et eksempel hvor f_k'erne ikke selv
konvergerer punktvis?
..Henrik
--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet
| |
 Simon Kristensen (17-01-2002)
| Kommentar
Fra : Simon Kristensen |
Dato : 17-01-02 15:04 |
|
Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:
> Der gælder følgende sætning:
> Hvis man har en følge af funktioner f_k der i L^2 konvergerer mod en
> funktion f, så findes der en delfølge f_{k_j} af funktioner der
> konvergerer punktvis mod f.
Da ikke overalt? Se på L^2 ([0,1]) m.h.t. Lebesgue-målet. Tag en følge
af funktioner f_n, der antager værdien 1 på en nulmængde og værdien
1/n på komplementærmængden til denne. Denne følge L^2-konvergerer mod
0, men sandelig ikke punktvis. Dette gælder også for enhver
delfølge. Dog er der næsted overalt punktvis konvergens.
> Er der nogen der kan give et eksempel hvor f_k'erne ikke selv
> konvergerer punktvis?
Ovenstående denne egenskab som specialtilfælde.
Simon
--
The good Christian should beware of mathematicians, and all those who
make empty prophecies. The danger already exists that the
mathematicians have made a covenant with the devil to darken the
spirit and to confine man in the bonds of Hell. -- St. Augustin
| |
Henrik Christian Gro~ (17-01-2002)
| Kommentar
Fra : Henrik Christian Gro~ |
Dato : 17-01-02 15:50 |
|
Simon Kristensen <spam_me_senseless@simonsays.dk> writes:
> Henrik Christian Grove <grove@sslug.dk> writes:
>
> > Der gælder følgende sætning:
> > Hvis man har en følge af funktioner f_k der i L^2 konvergerer mod en
> > funktion f, så findes der en delfølge f_{k_j} af funktioner der
> > konvergerer punktvis mod f.
>
> Da ikke overalt?
Du har ret, det gælder kun næsten overalt, en tåbelig forglemmelse.
Nu har jeg tjekket efter, og bortset fra at det gælder generelt i L^p
er det rigtigt hvis man nøjes med at kræve punktvis konvergens næsten
overalt.
> > Er der nogen der kan give et eksempel hvor f_k'erne ikke selv
> > konvergerer punktvis?
Hvad så hvis man tilføjer det "næsten overalt" jeg glemte i sætningen?
--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet
| |
 Kasper Daniel Hansen (17-01-2002)
| Kommentar
Fra : Kasper Daniel Hansen |
Dato : 17-01-02 23:03 |
|
Bare brug et kanonisk eksempel på en L2 konvergent følge som ikke er
punktvis konvergent. Hmm her er et eksempel. Vi bruger enhedsintervallet med
lebesguemålet som grundrum.
f_1=1
f_2=1_(0,1/2)
f_3=1_(1/2,1)
f_4=1_(0,1/3)
f_5=1_(1/3,2/3)
f_6=1_(2/3,1)
f_7=1_(0,1/4)
osv. systemet er klart :)
Det er også klart at vælger du den delfølge ud hvor indikatoren starter med
0 så har du en følge der konvergener næsten overalt - faktisk overalt.
Kasper
| |
Henrik Christian Gro~ (18-01-2002)
| Kommentar
Fra : Henrik Christian Gro~ |
Dato : 18-01-02 12:49 |
|
"Kasper Daniel Hansen" <kdh@omk.dk> writes:
> Bare brug et kanonisk eksempel på en L2 konvergent følge som ikke er
> punktvis konvergent.
Det var jo ligesom det jeg ikke kunne finde.
>Hmm her er et eksempel. Vi bruger enhedsintervallet med
> lebesguemålet som grundrum.
> f_1=1
> f_2=1_(0,1/2)
> f_3=1_(1/2,1)
> f_4=1_(0,1/3)
> f_5=1_(1/3,2/3)
> f_6=1_(2/3,1)
> f_7=1_(0,1/4)
> osv. systemet er klart :)
>
> Det er også klart at vælger du den delfølge ud hvor indikatoren starter med
> 0 så har du en følge der konvergener næsten overalt - faktisk overalt.
Tak.
..Henrik
--
"Det er fundamentalt noget humanistisk vås, at der er noget,
der hedder blød matematik."
--- citat Henrik Jeppesen, dekan for det naturvidenskabelige fakultet
| |
|
|