Nyt Mersenne-primtal
--------------------
Betragt tallet
M(p) = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^(p-1) = 2^p - 1
hvor p er et helt tal.
Hvis M(p) er et primtal, kaldes det et Mersenne-primtal.
Der kendes til dato 38 af disse Mersenne-primtal, det
største af disse er M(6972593), verdens største kendte
primtal. Rekorden holder dog ikke ret længe; den 14. november
blev et 39. og større Mersenne-primtal opdaget på en privat
pc tilhørende en person der deltager i et verdensomspændende
distribueret beregnings-projekt kaldet GIMPS.
Dette 39. Mersenne-primtal er ved at blive tjekket på en anden
computer, og når det er blevet bekræftet, vil det blive
offentliggjort (sker i løbet af denne weekend).
Det nye primtal vil være det femte der er blevet fundet af
GIMPS, og det vil skrive endnu en heldig GIMPS-deltager ind
i matematikhistorien. Enhver gymnasieelev der ejer en computer,
kan deltage i GIMPS-projektet og have chancen for at blive
"berømt". Man skal blot downloade et program; forståelse af
den underliggende matematik er ikke nødvendig.
Uløst problem: Der findes uendeligt mange primtal (Euklid),
men det vides ikke om der findes uendeligt mange Mersenne-
primtal.
Fuldkomne tal
-------------
Et tal kaldes fuldkomment hvis det er summen af sine divisorer
(tallet selv ikke medregnet som divisor). Fx er 496 fuldkomment
fordi
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
Man har vidst siden Euklid at hvis M(p) er et primtal, så er
tallet
2^(p-1) * (2^p - 1)
fuldkomment. Fx er for p=5 tallet 2^5-1 = 31 et primtal, og
derfor er 2^4*31=16*31=496 fuldkomment.
Der kendes kun de 38 (snart 39) fuldkomne tal som opstår på
denne måde ud fra de kendte Mersenne-primtal. Det blev vist
af Euler, at hvis der eksisterer et fuldkomment tal som ikke
fremkommer ud fra et Mersenne-tal på ovennævnte måde, så er
dette fuldkomne tal ulige.
Uløst problem: Det vides ikke om ulige fuldkomne tal
eksisterer.
Link
----
GIMPS findes på
http://www.mersenne.org/prime.htm
--
Jeppe Stig Nielsen <URL:
http://jeppesn.dk/>. «
"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse (I had no need of that
hypothesis)" --- Laplace (1749-1827)